Trabalhos recentes do

 Grupo de Sistemas Dinâmicos da UFF

Dirac physical measures on saddle-type fixed points

https://arxiv.org/abs/1909.02172

Por Bruno Santiago e Pablo Guarino. Em colaboração com Pierre-Antoine Guihéneuf

Breve descrição: Neste trabalho atacamos o seguinte problema: que configurações ou mecanismos dinâmicos podem ser responsáveis para aparição de medidas físicas de Dirac suportadas em pontos fixos de tipo sela? Atacamos explicitamente uma conjectura teste para essa pergunta, que diz que genericamente não existem medidas físicas de Dirac suportadas em pontos fixos de tipo sela. Provamos que C¹ genericamente medidas físicas de Dirac suportadas em pontos fixos de tipo sela só podem existir se a bacia estatítica da sela for um conjunto denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue positiva. Isso deixa entrever se o caso que resta para a solução da conjectura teste efetivamente existe. Provamos que sim através da construção explícita de um difeomorfismo que apresenta uma medida física de Dirac suportada em um ponto fixo de tipo sela e tal que a bacia estatítica é conjunto denso em lugar nenhum com medida de Lebesgue positiva. Essa construção é a principal parte técnica do trabalho e é feita por um processo de exclusão de orbitas, começando-se com um atrator figura oito explicito.

Kronecker factors for periodic point free homeomorphisms

https://arxiv.org/abs/1908.05746

Por Alejandro Kocsard. 

Breve descrição: Neste artigo estudamos o problema de caracterizar os homeomorfismos do toro bidimensional que são extensões topológicas de rotações irracionais do círculo. Já era sabido que um homeomorfismo f:T²->T²  que admite uma rotação irracional T_a:T->T² como fator topológico exibe desvios rotacionais uniformemente limitados sobre alguma direção homológica racional, i.e. existe um vetor v ε R² não nulo de inclinação racional tal que se f’ :R² ->R² é um levantamento da f, então existe C>0 tal que $|<f’ⁿ(z)-z,v> – na|<C, para todo n ε Z, e todo z ε R².

Porém também era sabido que esta propriedade, embora necessária, em geral não é suficiente. De fato a existência de pontos errantes e a anuliridade do homeomorfismo f são duas possíveis obstruções para a existência de rotações irracionais do círculo como fatores topológicos.

Neste trabalho mostramos que, de fato, a anularidade do homeomorfismo e geométria do conjunto errante de f são as únicas obstruções possíveis para a existência destes fatores topológicos caso f exiba desvios rotacionais uniformemente limitados sobre uma direção homológica racional.

Ping-pong partitions and locally discrete groups of real-analytic circle diffeomorphisms, I: Construction

https://arxiv.org/abs/1906.03578

Por Carlos Meniño Cotón. Em colaboração com Juan Alonso, Sébastien Alvarez, Dominique Malicet e Michele Triestino

Breve descrição: Nesse artigo classificamos as ações de grupos virtualmente livres de difeomorfismos analíticos e localmente discretos do círculo. É conjeturado que esses são os únicos exemplos localmente discretos além das ações projetivas dos grupos de superfícies fechadas (e os seus levantamentos finitos). A classificação é feita módulo semiconjugação topológica, a ação é descrita a partir de uma partição finita do círculo onde a combinatória da ação é codificada, essas são as chamadas partições de ping-pong generalizadas. A partição é associada a uma boa presentação do grupo, portanto não é fácil distinguir partições associadas à uma mesma ação. Mesmo assim as aplicações do resultado são importantes, baste sinalar que como corolário se obtem a prova de um caso restrito de uma conjectura de P. R. Dippolito do ano 1978: todo grupo de difeomorfismos analítico do círculo com um conjunto de Cantor invariante é semiconjugado a um grupo de homeomorfismos afins a pedaços. Outro corolário interessante é que os números de rotação para essas ações são uniformemente limitados. Esses corolários deverão aparecer proximamente, junto com mais aplicações, em um novo trabalho.